Các công thức Quan_hệ_hỗ_trợ

Các phương pháp toán học về sự tương hỗ, như nghiên cứu về sự tương hỗ nói chung, đã bị tụt hậu so với những kẻ săn mồi, hoặc động vật ăn thịt, người tiêu dùng, tài nguyên, tương tác. Trong các mô hình tương tác, các đáp ứng chức năng "loại I" và "loại II" đề cập đến mối quan hệ tuyến tính và bão hòa, tương ứng, giữa lợi ích cung cấp cho một cá thể của loài 1 (trục y) về mật độ của loài 2 (x -axis).

  • Type I
d N 1 d t = r 1 N 1 − α 11 N 1 2 + β 12 N 1 N 2 d N 2 d t = r 2 N 2 − α 22 N 2 2 + β 21 N 1 N 2 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dN_{1}}{dt}}&=r_{1}N_{1}-\alpha _{11}N_{1}^{2}+\beta _{12}N_{1}N_{2}\\[8pt]{\frac {dN_{2}}{dt}}&=r_{2}N_{2}-\alpha _{22}N_{2}^{2}+\beta _{21}N_{1}N_{2}\end{aligned}}}

Năm 1989, David Hamilton Wright đã sửa đổi các Phương trình Lotka–Volterra bằng cách thêm một thuật ngữ mới, βM/K, để thể hiện mối quan hệ tương hỗ. Wright cũng đã xem xét khái niệm bão hòa, có nghĩa là với mật độ cao hơn, có những lợi ích giảm dần của sự gia tăng hơn nữa của quần thể tương hỗ. Nếu không bão hòa, mật độ của loài sẽ tăng lên vô hạn. Bởi vì điều đó là không thể do các hạn chế về môi trường và khả năng mang theo, một mô hình bao gồm độ bão hòa sẽ chính xác hơn. Lý thuyết toán học của Wright dựa trên tiền đề của mô hình tương sinh hai loài đơn giản, trong đó lợi ích của chủ nghĩa tương hỗ trở nên bão hòa do các giới hạn đặt ra bởi thời gian xử lý. Wright định nghĩa thời gian xử lý là thời gian cần thiết để xử lý một loại thức ăn, từ khi tương tác ban đầu đến khi bắt đầu tìm kiếm các thực phẩm mới và cho rằng chế biến thực phẩm và tìm kiếm thực phẩm là loại trừ lẫn nhau. Theo lý thuyết tương hỗ thể hiện hành vi tìm kiếm thức ăn được tiếp xúc với những hạn chế về thời gian xử lý. Thuyết tương sinh có thể được liên kết với sự cộng sinh.

  • Type II
a x 1 + a x T H {\displaystyle {\cfrac {ax}{1+axT_{H}}}} d N d t = N [ r ( 1 − c N ) + b a M 1 + a T H M ] {\displaystyle {\frac {dN}{dt}}=N\left[r(1-cN)+{\cfrac {baM}{1+aT_{H}M}}\right]} d N d t = N [ r ( 1 − c N ) + β M / ( X + M ) ] {\displaystyle {\frac {dN}{dt}}=N[r(1-cN)+\beta M/(X+M)]}